ИНФОРМАЦИЯ
Боровков Владимир Алексеевич. Алгоритм спутниковой радионавигации низковысотного космического аппарата при перерывах в поступлении измерений: Дис. ... канд. техн. наук : 05.07.09 ,-М.: РГБ, 2006, 2006

3.4 Аналитическое исследование эффективности алгоритма на модельной задаче


Для обоснования эффективности применения описанного в 3.2 алгоритма оценим на модельной задаче степень повышения точности определения навигационной оценки НКА относительно стандартного средневзвешенного МНК с вычислением оценки на момент времени t^ и прогнозированием её на момент t*. Изменение ошибок навигационного вектора относительно точного невозмущенного движения в координатах плоскости орбиты КА { т.е. по двум векторам: г - радиус-вектору КА и и - вектору перпендикулярному г в плоскости орбиты по направлению полета НКА ) выражаются следующими выражениями /37/:
Дг/г0 = (2 - costp) + Sin + 2(1 - cos <р) ^-,
= + (3.13)
ro VKp Vkp
Ли(Зр - 2sin^) + (_2)(1 -COS?))^- + (-1 )(3 <р - 4siM + Ди0,
ГО Vnp VKP
/ * го Vkp Vkp
где ф = 0)t угловая величина текущего положения КА на орбите в момент времени t
выражается через угловую скорость движения О). Данные выражения даны в
линеаризованном виде относительно ср. Движение по орбите предполагается с круговой
скоростью VKp . Текущие ошибки по положению и по скорости (Дг, Ди, ДУГ, ДУи) в момент
времени t и текущим угловым положением (р выражаются через начальные ошибки
(Д|*о, Дио, ДУго, ДУио) в момент временив - 0 и начальный радиус вектор Го.
Ошибки навигационного вектора, полученного на момент времени последнего навигационного измерения и спрогнозированного на момент t* соответствуют соотношениям (3.13). Эти ошибки являются погрешностями навигационного вектора в прогнозе на заданное время в соответствии с методикой раздела 2.3, при этом предполагается, что ошибки модели отсутствуют. Законы их изменения вцелом соответствуют законам изменения ошибок дисперсий прогнозируемых параметров (см. раздел 2.1). Кроме указанных ошибок измерений (обозначим правые части в (3.13) через Аги(ф), Дии(ф), ДУги(ф), ДУДф)) в навигационной системе при использовании прогнозирования с моделью движения, в которой параметры заданы с погрешностью, присутствуют еще ошибки модели (обозначим их через Дгм(ф), Дин(ф), ДУгм(ф), ДУим(ф)). Таким образом, общее уравнение для ошибок на основании (3.13) имеет вид: Дг/го = Дг"(ф) + ДЛ<Р),
&Vr/VKp= AVr"+AVr", Au = Дии(ф) + Дим(ф),
AVu/VKp= AVu"+AVum{9).
На основании свойств регуляризиругощих алгоритмов (см. /16/) ошибки риуляризированных оценок близки к ошибкам алгоритма с прогнозом Аг11(ф), Дии(ф), ДУги(ф), AVU". Это подтверждается при совместном моделировании двух алгоритмов. Необходимо оценить влияние ошибок Дгм(ф), Дим(ф), Д\/Гм(ф), Д\/им(ф) на точность оценок двух навигационных алгоритмов 2.1 и 3.2.
Для алгоритма 2.1 данные ошибки являются неустранимыми т.к. на интервале прогнозирования [tN, t*] происходит предопределенный процесс без оптимизации. Иначе обстоит дело с регуляризирующим алгоритмом т.к. при выборе параметра регуляризации а, согласованном с величинами Дгм(ф), Дим(ф), Д\/Гм(ф), Д\С(ф), учитывая свойства стабилизирующего функционала Ij, уменьшается величина ошибки навигационного вектора. Проанализируем на специально подобранном примере, в котором влияние других ошибок незначительно, механизм компенсации алгоритмом навигационной ошибки Ди вдоль орбиты, которая обусловлена ошибкой баллистического коэффициента ДЭб.
Для анализа решения регуляризированной навигационной задачи в заданный момент времени необходимо рассмотреть тестовый вариант со специально подобранными исходными данными.
Рассмотрим функционирование алгоритма при следующих условиях:
Движение НКА осуществляется в гравитационном поле Земли, которое известно без ошибок и описывается оператором<2^*, q, Sg) с заданными параметрами р и Se,
Имеются навигационные измерения параметров движения НКА в моменты времени ti, t2,,,,, tiMl q(1\ q(2),q(N) с ошибками, равными нулю.
Движение НКА на промежутке времени [tj, IN] осуществляется с фиксированным баллистическим коэффициентом Sg.
Для решения навигационной задачи используется значение баллистического коэффициента, которое известно неточно, а с некоторой ошибкой ДЗб (S'e-So+ASe). Про ошибку баллистического коэффициента ASg известен только ее уровень |ASg | < 5S.
Необходимо получить при помощи регуляризирующего алгоритма навигационную оценку qa на момент времени t* (t* " tfj), используя прогноз с баллистическим
I
коэффициентом S е.
в результате применения регуляризирующего алгоритма получается навигационная оценка, зависящая от ошибки ASe. Проанализируем каким образом в регуляризирующем

алгоритме происходит компенсация влияния ошибки ДЭб при вычислении навигационной оценки qQ. С целью анализа определим, какие значения принимают каждое из двух составных слагаемых Ii и h регуляризующего функционала I раздела 3.1.
в результате применения алгоритма, описанного в разделе 3.2, находится значение вектора q0, на котором функционал I принимает минимальное значение. На основании теорем вариационного исчисления /16/ существует взаимосвязь между решениями соответствующих экстремальных задач. Имеются в виду задачи в методах квазирешения, невязки и регуляризации Тихонова.
Задача регуляризации Тихонова относится к экстремальной задаче на безусловный экстремум.
По теореме из третьей главы /16/ существует связь решения, полученного по методу регуляризации Тихонова и минимизирующего функционал I, с решением задачи, полученным методом невязки. Метод невязки является задачей на условный экстремум с ограничениями типа неравенства. На основании указанной теоремы, пользуясь обозначениями раздела 3.2 для выбранного значения параметра а = ао, регуляризированное решение qao является одновременно решением задачи по методу невязки, т.е. является решением экстремальной задачи:
?p- :qat б R },
N
(3.14)
чТ
min{ ? j=i
где q"T первая компонента вектора оценки соответствует компоненте т ОСК. При этом должно выполняется неравенство: N
X
1 = 1
< S'
(3.15)
\ 3? (t., q* ,s' ) -a(i> ]TD-T^(t.,q* )-a® 1 P i а б н J tj j p j а б' 4 J величина S (аналогично с a) выбирается согласованной с величиной ASe.
На основании этого соответствия покажем каким образом для данной постановки задачи находится регуляризированное решение, которое ближе к истинному решению qw, чем решение найденное по методу МНК с прогнозом: ( q^HK ) и соответствующее прогнозу движения на интервале [t^ t ] с баллистическим коэффициентом равным Sg, Для анализа решения заменим неравенство (3.15) (при учете допущений для упомянутой теоремы из /1 б/) равносильным равенством для поиска навигационной оценки: i\)f
1 = 1 I

Т°П|[
I j ft(t,.4®.S'e) -qa. Для рассматриваемой постановки задачи ( с условиями 1), 2), 3) ) при прогнозе векторов навигационных измерений q® (j=1 ,N) на момент времени t* векторы 5p(t*,q'J), Se) располагаются вдоль орбиты определенным образом в зависимости от
продолжительности интервала прогноза [tj, t*] и величины ошибки баллистического коэффициента ДБб. При ASe=0 вектора спрогнозированных параметров совпадают, т.е. J2&(t*,q{1>, S6)=-S&Ct*tq J^(t*pq<1>, Se) ? При возрастании ASg величина отклонения вдоль орбиты между крайними векторами ^(t*,q(1) , S6) и , Sg)
увеличивается. Это происходит от того, что параметры векторов навигационных измерений q® рассчитаны на интервале [ti, tw] с баллистическим коэффициентом Se, а Щ, (t*, q01, S6) г прогнозирование q® на момент времени t* производится с баллистическим
коэффициентом, равным S g. При этом интервалы прогнозирования имеют разную длину I tfj - ti| > | tN - t2| > | tfj - t3|> ... > [ tjsj - tN|. Следовательно, из-за различия баллистических коэффициентов S б и S@ положение вдоль орбиты спрогнозированных векторов (обозначим эти параметры через: ^(t*,q®,Ss)T) отвечают условию: |^(t*,q(i),S6)T-^(t*,q(2)tS6)T|> I {t*. q(J>,Se )t-^(t*.q(3>, Ss)T |>... > j ^(t*,q(N_11. Se )r - ^(t*, q(N), Se )r|.
Данные неравенства обусловлены разными интервалами прогнозирования ] tjM - tj | С баллистическим коэффициентом S б векторов q®, рассчитанных с баллистическим коэффициентом Sg.
Данные соотношения соответствуют движению КА с различными баллистическими коэффициентами. При Д8б < 0 вектора расположены вдоль орбиты в соответствии с рисунком 3.3 :
4io Чмнк 41- q" ± i + + ^

/ / I
^{t*,q(1>,S6)T ^(fFq(a),S6)t ^(t*,q(N-1),S6)T 5&(t*,q™ Si)*
Рисунок 3.3 - Расположение спрогнозированных векторов ^(t^q^SsjT и решение по МНК (Чмнк), истинное решение (q") и смещенные регуляризированные решения (qia и q2a)
Такое расположение спрогнозированных векторов имеет место, т.к. орбита с меньшим баллистическим коэффициентом расположена выше, а выход на заданный аргумент широты происходит позже.
При этом значение вектора навигационной оценки при котором выражение (3.14)
/
принимает минимальное значение соответствует единственному решению ямнк- Для фиксированных значений б2 равенство Б выражении (3,15) достигается для двух значений

векторов q-ia и Ц2а- вектора qia и q2a расположены симметрично вектора ямнк т.е. qla = цмнк - Aqa и q2a = Чмнк + Aqa , При этом величина Aqa соответствует величине б2. в соответствии с упомянутой теоремой решением регуляризированного уравнения qa является то значение из двух векторов qia и q2a, на котором стабилизатор (3.14) принимает меньшее значение, т.е. которое соответствует меньшей величине:
2 I " t , |2
N 2
S6 )Х -J N l*p(r, q®t s6 \-Q2AT\
или z J-. (3.16)
1=1 d>®D Olj)T i=1 O^D .Ф®Т
1 nj1 1 TJ 1
Расположение спрогнозированных векторов .2p(t*,q°\ Зб) таково, что вне зависимости от знака величины ошибки баллистического коэффициента ДЗд наилучшее по точности решение qia и С\2а расположено ближе к ^(t*,q(N,,Ss). При ASq < 0 это будет При AS6 > О это будет qia- Это следует из структуры и свойств "стабилизирующего" функционала:
величины -- убывают в зависимости от изменения j=l,N;
ф")Сч|фШТ
величины (^p(t*,q®,S6 )т -q1ax) и (^p(t*, q®,S6)t -q2aT) в зависимости от изменения
j=l,N монотонно убывают и возрастают, соответственно;
N
3) верно соотношение: ?
j=i
2 2 >pCP.q®.s;)r-v] = 2[^pr.q®.s;)r-q;J .
1-1
На основании свойств 1) - 3) из двух функционалов (3.16) в зависимости от знака ASe меньше тот, который ближе к .^(t* qТаким образом ( при Две < 0), величина q2a будет решение регуляризиро ванно й задачи, а поскольку величина б2 выбирается в соответствии с уровнем ошибки: |ASe [ < 6S то решение qin ближе к истинному решению qM чем решение Цмнк- На основании представленных качественных рассуждений на примере рассмотренной модельной задачи можно сделать вывод о целесообразности применения регуляризирующего алгоритма для вычисления навигационной оценки НКА. Представленные рассуждения дают возможность понять, каким образом регуляризация при решении задачи навигации в момент времени t*, компенсируют погрешности модели движения. Аналитические оценки погрешности регуляризирующего алгоритма, как метода решения линейных некорректных задач приведены в /16/ и сложны для перевода в количественные соотношения. При поиске навигационной оценки в момент времени t*. удаленном от интервала навигационных измерений, задача становится нелинейной. Поэтому действенным инструментом для оценки эффективности является численное моделирование.
<< Предыдушая Следующая >>
= К содержанию =
Информация, релевантная "3.4 Аналитическое исследование эффективности алгоритма на модельной задаче"
  1. 3.1 выбор вида функционала для вычисления навигационной оценки НКА
    исследования выявили особенности, определяющие качество навигационных решений: неустойчивость вычисления навигационной оценки на значительных интервалах прогнозирования до момента t*, как следствие применения линеаризованной модели на значительном удалении от моментов навигационных измерений; значительное влияние ошибок параметров модели движения на точность навигации в прогнозе на момент времени
  2. введение
    исследований в диссертационной работе является задача обеспечения качественной навигационной информацией систем НКА на примере КАДЗЗ при использовании СРНС в условиях возникновения перерывов в поступлении измерений. Задачей определения параметров движения космических тел по результатам нескольких наблюдений занимался Карл Фридрих Гаусс в 1809 году. Им был разработан метод наименьших квадратов
  3. 3.6 Область использования регуляризирующего алгоритма и формирование требований к БЦвМ для его реализации
    аналитических выражений для получения навигационных оценок в разделах 2.1 и 3.2, размеров исходных текстов соответствующих программ, их загрузочных файлов (см. приложение в) и времени счета на ПЭвМ. Требования к вычислительным ресурсам предъявляются выше в сравнении с традиционно используемым алгоритмом сглаживания, основанном на средневзвешенном МНК; по памяти в 1,5 раза; по времени вычисления в
  4. Краткое содержание работы.
    аналитические расчетные формулы не применимы. Приведены результаты расчета ЛС ПСП GMW для N=12, 16, 18, 20 и 24. Впервые сделан полный расчет ЛС для всех 79 различных классов этих ПСП длины 16383. В третьей главе, посвященной взаимной корреляции последовательностей типа Адамара, рассмотрен метод исследования ПВКФ последовательностей типа Адамара с помощью изоморфных коэффициентов, позволяющий
  5. 3.5.1 Описание допущений, принимаемых при численном моделировании
    исследования алгоритма и сравнения его точностных характеристик с традиционным алгоритмом, вычисляющим оценку с использованием средневзвешенного МНК, использовалась модель со специально подобранными параметрами. выбор параметров модели для численного исследования обусловлен необходимостью имитирования решения навигационной задачи для характерных схем навигационных измерений при использовании
  6. в главе обосновывается выбор вида функционала для поиска навигационной оценки НКА в момент времени Г, удаленный от интервала навигационных измерений. вид функционала выбирается таким образом, чтобы, во-первых, компенсировать свойство неустойчивости, описанное в предыдущей главе, во-вторых, уменьшить влияние погрешностей параметров модели движения на точность навигационной оценки. С этой целью используется регуляризация, как методика решения некорректно поставленных задач. При выборе регуляризирующего слагаемого функционала используется свойство высокой точности получения навигационных решений при использовании измерений СРНС. На основе выбранного функционала в главе разработан рехуляризирующий алгоритм обработки навигационных измерений и проведено исследование его эффективности.
    исследование его
  7. Боровков Владимир Алексеевич. Алгоритм спутниковой радионавигации низковысотного космического аппарата при перерывах в поступлении измерений: Дис. ... канд. техн. наук : 05.07.09 ,-М.: РГБ, 2006, 2006
    исследования. Целью диссертационной работы является разработка алгоритма вычисления навигационной оценки, адаптивного к ошибкам модели движения при прогнозировании навигационного вектора и к изменениям статистических характеристик навигационных измерений. Алгоритм должен вычислять навигационную оценку, которая обладает свойством чувствительности к изменениям параметров
  8. 3.5.4 Численное моделирование при совместных ошибках модели поля Земли и ошибках баллистического коэффициента
    эффективность регуляризирующего алгоритма при совместных ошибках модели поля Земли и ошибках баллистического коэффициента выше, чем при каждой ошибке в отдельности. Это делает его эффективным для использования в БКУ НКА. Можно обобщить результаты моделирования третьего раздела. При решении задачи идентификации модели движения НКА, к которой относится задача уточнения баллистического
  9. 4.1 Анализ ковариационных матриц навигационных решений при различных созвездиях опрашиваемых НС
    аналитические выражения определяют скоростные составляющие навигационного вектора Vx, Vy, Vz. Значения математических ожиданий дисперсий и коэффициентов корреляции для навигационных параметров НКА потребителя при использовании измерений разностей дальностей вычисляются по известным формулам при статистической обработке. При моделировании выбирались различные варианты взаимного расположения
  10. Список используемых источников
    исследования. -1964, Т. II, вып. 5, С. 713-715 Лидов M.JI. Эффективный алгоритм решения задачи выбора оптимальной программы измерений с ограничениями на ошибки оценки нескольких параметров // Космические исследования. -1964, Т. XXII, вып. 5, С. 700-704 Лидов М.Л., Матасов А.И. Об одном обобщении задачи о наихудшей корреляции // Космические исследования. - 1989, Т. XXVII, вып. 3, С. 454-457

Портал "Input" © 2011
info@1-ebook.com